Question

如圖8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點,過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P,交AB于Q.

圖8-54

(1)求四邊形AQMP的周長;

(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需證明);

(3)M位于BC的什么位置時,四邊形AQMP為菱形?說明你的理由.

Answer 1

2a.

提示：根據平行的性質可以得到平行四邊形和兩個等腰三角形，由對邊和腰相等，四邊形的周長等于△ABC的兩腰之和.

∵PM∥AB，QM∥AC,

∴四邊形AQMP為平行四邊形，

且∠1=∠C，∠2=∠B.

又∵AB=AC=a,

∴∠B=∠C.

∴∠1=∠B=∠C=∠2.

∴QB=QM，PM=PC.

∴四邊形AQMP的周長為

AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a.

(2)答案：△BQM∽△MPC∽△BAC.

(3)答案：當M為底邊BC的中點時，四邊形AQMP為菱形.

提示：四邊形AQMP已是平行四邊形，要使之為菱形，則需有一組鄰邊相等.

理由：∵M為底邊BC的中點,

∴BM=CM.

由(1)知∠B=∠C，∠1=∠2,

∴△BQM≌△CMP.

∴PM=QM.

由(1)四邊形AQMP為平行四邊形,

∴四邊形AQMP為菱形.