Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＜0）的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積．

Answer 1

分析：（1）求出A、C的坐標(biāo)，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=a（x-3）（x+1），把C的坐標(biāo)代入求出即可；
（2）求出D的坐標(biāo)，設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b，把C（0，3），D（1，4）代入求出直線CD，得到E的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可；
（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，設(shè)直線AG的解析式是y=ax+c，把A、G的坐標(biāo)代入求出直線AG，根據(jù)勾股定理求出AG，設(shè)P（x，-x²+2x+3），則Q（x，x+1），求出PQ，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，
∴C的坐標(biāo)是（0，3），
∵tan∠ACO=

1

3

，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=a（x-3）（x+1），
把C（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
解得：a=-1，
∴y=-（x-3）（x+1）=-x²+2x+3，
答：這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）．
理由：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b，
把C（0，3），D（1，4）代入得：

3=b 4=k+b

，
解得：k=1，b=3，
∴直線CD的解析式為：y=x+3
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）
由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE=CF=2，AE∥CF，
∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，3），
答：在該拋物線上存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（2，3）．

（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，
把G（2，y）代入y=-x²+2x+3得：y=3，
∴G（2，3），
設(shè)直線AG的解析式是y=ax+c，
把A、G的坐標(biāo)代入得：

0=-a+c 3=2a+c

，
解得：a=1，c=1，
直線AG為y=x+1，
由勾股定理得：AG=3

2

，
設(shè)P（x，-x²+2x+3），則Q（x，x+1），
PQ=-x²+x+2，AH=2-（-1）=3，
S_△APG=S_△API+S_梯形PIHG-S_△AGH
=

1

2

•（x+1）•（-x²+2x+3）+

1

2

•（-x²+2x+3+3）•（2-x）-

1

2

×（2+1）×3
=-

3

2

x²+

3

2

x+3
當(dāng)x=-

3 2

2×(- 3 2 )

=

1

2

時(shí)，△APG的面積最大，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，

15

4

），S_△APG的最大值為-

3

2

×（

1

2

）²+

3

2

×

1

2

+3=

27

8

．
答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（

1

2

，

15

4

）位置時(shí)，△APG的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

1

2

，

15

4

），△APG的最大面積是

27

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，解二元一次方程組，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．