Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．將點(diǎn)A折疊到CD邊上，記折疊后A點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)為P(P與D點(diǎn)不重合)，折痕EF只與邊AD、BC相交，交點(diǎn)分別為E、F．過點(diǎn)P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，連結(jié)PA、PE、AM，EF與PA相交于O．

(1)指出四邊形PEAM的形狀(不需證明)；

(2)記∠EPM＝a，△AOM、△AMN的面積分別為S₁、S₂．

①求證：＝PA²．

②設(shè)AN＝x，y＝，試求出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并確定y的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)四邊形AMPE為菱形　2分 　　(2)證明：∵四邊形AMPE為平行四邊形，EPM＝a 　　∴∠MAP＝a　S1＝OA·OM．　4分 　　∵在Rt△OM中，tan＝，∴OM＝OA·tan． 　　＝＝OA·OM×＝OA2＝×(PA)2＝PA2．　5分 　　(3)過D作DH垂直于BC于H，交NP于點(diǎn)K， 　　則：DK⊥PN，BH＝AB＝AD＝DH＝1，DK＝AN＝x． 　　∵CH＝BC－BH＝2－1＝1， 　　∴CH＝DH． 　　∴∠NPD＝∠BCD＝45°． 　　∴PK＝DK＝x． 　　∴PN＝1＋x． 　　在Rt△ANP中， 　　AP2＝AN 2＋PN 2＝x2＋(1＋x)2＝2x2＋2x＋1．　6分 　　過E作PM的垂線EG(垂足為G)，令△EGM的面積為S． 　　∵△EGM∽△AOM， 　　∴＝()2＝＝． 　　則S＝S1． 　　∵四邊形ANGE的面積等于菱形AMPE的面積， 　　∴2S1＝S2＋S． 　　∴S1－S2＝S－S1＝S1－S1＝(－1)S1． 　　∴y＝＝(－1)× 　　＝(－1)×PA2＝(4x2－AP2)． 　　∴y＝x2－x－．