Question

已知，四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AC=AD，對(duì)角線AC平分∠BAD，直角三角板30°角的頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，
（1）如圖，當(dāng)三角板的兩邊分別與BC、CD交于E、F時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段BE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖，當(dāng)三角板的兩邊分別與BC、CD的延長(zhǎng)線交于E、F時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段BE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

（1）線段BE和CF之間的數(shù)量關(guān)系是BE=CF，
證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=75°，
同理∠ACD=∠D=75°，
∴∠B=∠ACD，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．

（2）線段BE和CF之間的數(shù)量關(guān)系是BE=CF，
證明：∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
即∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
分析：（1）求出∠BAC=∠EAF=30°，∠B=∠ACD，推出∠BAE=∠CAF，根據(jù)AAS證△BAE和△CAF全等即可；
（2）與（1）類似，推出∠BAE=∠CAF，根據(jù)ASA證△BAE和△CAF全等即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30度角的直角三角形，角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等式的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，此題綜合性比較強(qiáng)，但難度適中．