Question

如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，以AE為邊作正方形AEFG。

（1）連結GD，求證△ADG≌△ABE；

（2）連結FC，求證∠FCN=45°；

（3）請問在AB邊上是否存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請證明；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據(jù)“SAS”證得△ADG≌△ABE；（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據(jù)AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結果；（3）存在

（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得證．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據(jù)“SAS”證得△ADG≌△ABE；

（2）過F作BN的垂線，設垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據(jù)AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結果；

（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可證得結果．

（1）如圖

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形

∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°

∴∠DAG=∠BAE

∴△ADG≌△ABE；

（2）過F作BN的垂線，設垂足為H

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°

∴∠BAE=∠HEF

∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF

∴AB=EH，BE=FH

∴AB=BC=EH

∴BE+EC=EC+CH

∴CH=BE=FH

∴∠FCN=45°；

（3）在AB上取AQ=BE，連接QD

∵AB=AD

∴△DAQ≌△ABE

∵△ABE≌△EHF

∴△DAQ≌△ABE≌△ADG

∴∠GAD=∠ADQ

∴AG、QD平行且相等

又∵AG、EF平行且相等

∴QD、EF平行且相等

∴四邊形DQEF是平行四邊形

∴在AB邊上存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形．

考點：正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定

點評：本題知識點較多，難度較大，熟練掌握平面圖形的基本概念是解答本題的關鍵.