(1997•昆明)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,直線MN切⊙O于點(diǎn)C,AD⊥MN于D,AD交⊙O于E,AB的延長線交MN于點(diǎn)P.求證:AC2=AE•AP.
分析:連接EC,易證BE∥MN,根據(jù)平行線的性質(zhì)以及圓周角定理可以證明∠ACE=∠APC,根據(jù)弦切角定理與圓周角定理證得EAC=∠PAC,則△AEC∽△ACP,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得.
解答:解:連接EC.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°,
又∵AD⊥MN于D,
∴BE∥MN,
∴∠ABE=∠APC,
又∵∠ACE=∠ABE,
∴∠ACE=∠APC.
∵BE∥MN,
∴∠ECD=∠BEC=∠PAC,
∵直線MN切⊙O于點(diǎn)C,
∴∠ECD=∠EAC,
∴∠EAC=∠PAC
∴△AEC∽△ACP,
AE
AC
=
AC
AP

∴AC2=AE•AP.
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及圓周角定理、弦切角定理,證明線段的乘積相等的問題常用的思路就是轉(zhuǎn)化成證明三角形相似.
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