【題目】如圖,已知以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn),頂點(diǎn)為F.
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)已知M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與C點(diǎn)重合),試探究:
①使得以A,B,M為頂點(diǎn)的三角形面積與△ABC的面積相等,求所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);
②若探究①中的M點(diǎn)位于第四象限,連接M點(diǎn)與拋物線頂點(diǎn)F,試判斷直線MF與⊙E的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)A(-2,0),B(8,0),C(0,-4);(2).F(3,);(3)①點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,4)或(,4);②直線MF與⊙E相切.理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由題意可直接得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo),連接CE,在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OC的長(zhǎng),則得到點(diǎn)C的坐標(biāo).
(2)已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),利用交點(diǎn)式與待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,由解析式得到頂點(diǎn)F的坐標(biāo).
(3)①△ABC中,底邊AB上的高OC=4,若△ABC與△ABM面積相等,則拋物線上的點(diǎn)M須滿足條件:|yM|=4.因此解方程yM=4和yM=-4,可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).
②如解答圖,作輔助線,可求得EM=5,因此點(diǎn)M在⊙E上;再利用勾股定理求出MF的長(zhǎng)度,則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形,∠EMF=90°,所以直線MF與⊙E相切.
解:(1)∵以E(3,0)為圓心,以5為半徑的⊙E與x軸交于A,B兩點(diǎn),
∴A(-2,0),B(8,0).
如圖所,連接CE,
在Rt△OCE中,,CE=5,
由勾股定理得:,
∴C(0,-4).
(2)∵點(diǎn)A(-2,0),B(8,0)在拋物線上,
∴設(shè)拋物線的解析式為.
∵點(diǎn)C(0,-4)在拋物線上,
∴,解得.
∴拋物線的解析式為:,即.
∵.
∴頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,).
(3)①∵△ABC中,底邊AB上的高OC=4,
∴若△ABC與△ABM面積相等,則拋物線上的點(diǎn)M須滿足條件:|yM|=4.
(I)若yM=4,則,
整理得:,解得或.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,4)或(,4).
(II)若yM=-4,則,
整理得:,解得x=6或x=0(與點(diǎn)C重合,故舍去).
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,-4).
綜上所述,滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(,4)或(,4)或(6,-4).
②直線MF與⊙E相切.理由如下:
由題意可知,M(6,-4).
如圖,連接EM,MF,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥對(duì)稱(chēng)軸EF于點(diǎn)G,則MG=3,EG=4.
在Rt△MEG中,由勾股定理得:,
∴點(diǎn)M在⊙E上.
由(2)知,F(3,),∴EF=.
∴.
在Rt△MGF中,由勾股定理得:,
在△EFM中,∵,
∴△EFM為直角三角形,∠EMF=90°.
∵點(diǎn)M在⊙E上,且∠EMF=90°,
∴直線MF與⊙E相切.
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