解:(1)∵AC⊥BC,OC⊥AB,
∴△AOC∽△COB,
∴
=
∵AO=1.8,則OC=2.4,
∴
=
解得OB=3.2,
∴點B的坐標為(3.2,0)
設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線的解析式為y=ax
2+bx+c,
將點A、B、C的坐標代入得y=-
x
(2)用勾股定理求出AC=3,BC=4,
∵AC⊥BC,MN∥AC,MP∥BC,
∴四邊形MNCP為矩形,且△MNB∽△ACB,
=
設(shè)MN=3x,則NB=4x,得CN=4-4x
∴四邊形MNCP的面積為3x(4-4x),從而△MNP的面積是:
S=
3x(4-4x)
=-6x
2+6x
=-6(x-
)
2+
當x=
,△MNP面積的最大值為
;
(3)∵l∥AB,
∴△ABC的面積(2)中△ABC的面積相等為6,
由MN∥AC,MP∥BC,得△MNB∽△ACB,△MAP∽△BAC
則
=
,
=
設(shè)MB=x,則AM=5-x,
∴△MBN的面積是;
x
2,△MAP的面積是:
,
∴△MNP的面積是:
S=
(△ABC的面積-△MBN的面積-△MAP的面積)
=-
+
x
=-
,
當x=
,即MB為
時,△MNP面積的最大值為
,
∴(2)中的結(jié)論仍然成立.
分析:(1)本題須先證出△AOC∽△COB,從而得出點B的坐標,再把點A、B、C的坐標代入即可求出拋物線的解析式.
(2)本題須先根據(jù)△MNB∽△ACB,得出
=
,再表示出CN的長,然后代入四邊形MNCP的面積為3x(4-4x),從而得出S=-6(x-
)
2+
,即可求出
△MNP面積的最大值為.
(3)本題須先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出則△MNP的面積,然后求出△MNP面積的最大值即可得出正確結(jié)論.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,在解題時要注意把二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵.