Question

如圖△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD、BE是高．
（1）求AD，BE的長；
（2）點P是高AD的一動點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，得到線段CF．
①線段AC上有一點M，使△CPM≌△CFD，求CM的長；
②當(dāng)DF最短時，求AP的長；
③動點Q從點A出發(fā)，以5cm/s的速度在邊AD上向點P運動，到達(dá)點P后，再以3cm/s速度向終點B運動，直接寫出點Q運動時間的最小值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD=

1

2

BC，利用勾股定理列式求出AD，再利用△ABC的面積列出方程求解即可得到BE；
（2）①根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CM=CD；
②根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=PM，再根據(jù)垂線段最短可得PM⊥AD時PM最短，求出AM，再根據(jù)∠CAD的余弦列式計算即可求出AP；
③過點P作PN⊥AC于N，求出PN=

3

5

AP，然后判斷出相當(dāng)于點Q以3cm/s的速度從點N出發(fā)經(jīng)點P到點B，再根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BN⊥AC時，點Q的運動時間最小，然后根據(jù)時間=路程÷速度列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD是高，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×12=6cm，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8cm，
S_△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

BC•AD，
所以，

1

2

×10•BE=

1

2

×12•8，
解得BE=

48

5

cm；

（2）①∵△CPM≌△CFD，
∴CM=CD=6cm；
②∵△CPM≌△CFD，
∴DF=PM，
∴DF最短，即PM最短，當(dāng)PM⊥AD時DF最短，
此時AM=AC-CM=10-6=4cm，
AP=AM•cos∠CAD=4×

8

10

=

16

5

cm；
③過點P作PN⊥AC于N，則PN=AP•sin∠CAD=

3

5

AP，
∵點Q從點A到點P的運動速度是5cm/s，從點P到點B的運動速度是3cm/s，
∴相當(dāng)于點Q以3cm/s的速度從點N出發(fā)經(jīng)點P到點B，
由垂線段最短，當(dāng)BN⊥AC時，點Q的運動時間最小，
此時，BN、BE重合，t=

48

5

÷3=

16

5

秒．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，垂線段最短，難點在于（2）考慮利用垂線段最短解答．