Question

①如圖1，在矩形ABCD中，E、F為BC上兩點，且BE=CF，求證：∠BAF=∠CDE；
②如圖2，在平面直角坐標系中，已知點B（4，2），BA⊥x軸于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）將△AOB繞原點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后記作△A′OB′；
①畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形并寫出A′、B′的坐標；
②求在旋轉(zhuǎn)過程中線段OA掃過的面積．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AB=CD，∠B=∠C=90°，再求出BF=CE，然后根據(jù)“SAS”證明△ABF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可證明；
②（1）根據(jù)點B的坐標，利用∠BOA的正切值等于對邊比鄰邊列式進行計算即可得解；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點A′、B′的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點A′、B′的坐標；然后根據(jù)扇形面積公式列式進行計算即可求出OA掃過的面積．
解答：①證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠BAF=∠CDE；

②解：（1）∵點B（4，2），
∴tan∠BOA==；

（2）①如圖，△A′OB′即為所求作的圖形；
點A′（0，-4），B′（2，-4）；
②線段OA掃過的面積==4π．
點評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，扇形的面積計算，比較簡單，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．