(2008•荊門(mén))如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,AB為直徑,∠ABC=30°,CD是⊙O的切線,E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),ED⊥AB于F.
(1)判斷△DCE的形狀;
(2)設(shè)⊙O的半徑為1,且OF=,求證:△DCE≌△OCB.

【答案】分析:(1)易得△AOC是正三角形,故有∠E=30°,由∠OCD=90°和平角的概念可得∠DCE=30°=∠E,所以DE=CD;進(jìn)而可知此三角形為等腰三角形.
(2)由勾股定理求得BC=,然后由直角三角形的性質(zhì),求得CE=,即可證得△DCE≌△OCB.
解答:(1)解:∵∠ABC=30°,
∴∠BAC=60°.
又∵OA=OC,
∴△AOC是正三角形.
又∵CD是切線,
∴∠OCD=90°.
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°.
而ED⊥AB于F,
∴∠CED=90°-∠BAC=30°.
故△CDE為等腰三角形.

(2)證明:∵CD是⊙O的切線,
∴∠OCD=90°,
∵∠BAC=60°,AO=CO,
∴∠OCA=60°,∵∠DCE=30°.
∴A,C,E三點(diǎn)同線
在△ABC中,
∵AB=2,AC=AO=1,
∴BC==
∵OF=
∴AF=AO+OF=
又∵∠AEF=30°,
∴AE=2AF=+1,
∴CE=AE-AC==BC,
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC;
故△CDE≌△COB.
點(diǎn)評(píng):本題利用了直徑對(duì)的圓周角是直角,等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)求解.
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