Question

如圖，直角△ABC中∠C=90°，∠A=30°，BC=2，則△ABC的內(nèi)切圓⊙O₁的半徑r₁=

 

；若⊙O₂與⊙O₁、BC、AB分別相切，⊙O₃與⊙O₂、BC、AB分別相切…；按此規(guī)律，則⊙O₂₀₁₄的半徑r₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：規(guī)律型

分析：本題可將三角形ABO分解成三個三角形，再根據(jù)三個三角形的面積之和等于△ABO的面積，即可得出半徑的值，再根據(jù)題意依次列出⊙O₂，⊙O₃…的半徑大小，找出規(guī)律即可．

解答：解：（1）∵BC=2，∠C=90°，∠A=30°，
∴B（0，2），A（2

3

，0），
則S_OO1B=

1

2

×OB×r₁=r₁，
S_AO1O=

1

2

×AO×r₁=

3

r₁
S_AO1B=

1

2

×AB×r₁=2r₁
S_AOB=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∵S_AOB=S_OO1B+S_AO1O+S_AO1B=（3+

3

）r₁=2

3

，
∴r₁=

3

-1；

（2）根據(jù)題意得：R₁=

3

-1，R₂=

3 -1

3

，R₃=

3 -1

32

…
∴Rn=

3 -1

3n-1

，
依此類推可得：R₂₀₁₄=

3 -1

32013

，
故答案為：

3

-1，

3 -1

32013

．

點(diǎn)評：本題考查的是三角形的性質(zhì)，解此類題目時要根據(jù)題意列出不等式，適當(dāng)?shù)貙�圖形進(jìn)行分解，然后再解題．