Question

【題目】已知，點(diǎn)P是等邊三角形△ABC中一點(diǎn)，線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接PQ、QC．

（1）求證：PB＝QC；

（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5.

【解析】

（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根據(jù)“SAS”證明△BAP≌△CAQ，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出答案；

（2）由△APQ是等邊三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性質(zhì)可得∠AQC =∠APB=150°,從而可求∠PQC=90°，然后根據(jù)勾股定理求PC的長(zhǎng)即可.

直接利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案．

（1）證明：∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，

∴AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ是等邊三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP=∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中

，

∴△BAP≌△CAQ（SAS），

∴PB=QC；

（2）解：∵由（1）得△APQ是等邊三角形，

∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，

∵∠APB=150°，

∴∠PQC=150°﹣60°=90°，

∵PB=QC，

∴QC=4，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC===5．