Question

如圖，已知：等邊三角形ABC的邊長為6，點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=AE=2．點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運動，設點F運動的時間為t秒．當t＞0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O．
（1）用t的代數(shù)式表示AG；
（2）設△AGE的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關系式；
（3）當t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線AG∥BC截線段成比例證得△ADG∽△BDF，然后由相似三角形的對應邊成比例知

AG

BF

=

AD

DB

，從而求得AG=

1

2

t；
（2）作輔助線EK⊥AG構造直角三角形AEK，然后在直角三角形中求EK的長度；
（3）需分類討論：①當點F在線段BC上時，若點F、點C是線段BH的三等分點；②當點F在BC的延長線上時，若點F、點C是線段BH的三等分點．

解答：解：（1）∵AG∥BC，
∴△ADG∽△BDF，
∴

AG

BF

=

AD

DB

，
又∵AD=2，DB=4，BF=t，
∴AG=

1

2

t；
（2）作EK⊥AG，垂足為K，
∵∠CAK=∠ACB=60°，
∴EK=AEsin60°=

3

，
S=

1

2

AG•EK=

3

4

t；
（3）①當點F在線段BC上時，若點F、點C是線段BH的三等分點，
則BF=FC=CH，BC=6，BF=3，
即當t=3時，點F、點C是BH的三等分點；
②當點F在BC的延長線上時，若點F、點C是線段BH的三等分點，
則BC=CF=FH，CF=6，BF=12，
即當t=12時，點F、點C是BH的三等分點．

點評：本題綜合考查了解直角三角形、等邊三角形的性質、相似三角形的性質與判定．在解答第（3）題時，要分類討論，以防漏解．