Question

已知：如圖，P為直徑AB上一點(diǎn)，EF、CD為過(guò)點(diǎn)P的兩條弦，且∠DPB=∠EPB．
求證：
（1）CD=EF；
（2）

CE

=

DF

．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，根據(jù)全等三角形的判定方法得到△ODN≌△OEM，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等，從而不難求得結(jié)論；
（2）根據(jù)CD=EF從而得到

CD

=

EF

由等量減去等量還是等量即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，連接OD、OE，
∵∠DPB=∠EPB，
∴OM=ON．
又∵OE=OD，
∵∠OMP=∠ONP=90°，
∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）．
∴DN=EM．
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)．
∴EM=

1

2

EF，DN=

1

2

CD．
∴CD=EF．

（2）∵CD=EF，
∴

CD

=

EF

，
∴

CD

-

FC

=

EF

-

FC

．
即

CE

=

DF

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了垂徑定理和全等三角形的判定和性質(zhì)及在同圓劃等圓中，等弧對(duì)等弦，等弦對(duì)等弧求解．