Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx-3a經過A（-1，0）、B（0，3）兩點，與x軸交于另一點C，頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式及點C、D的坐標；
（2）經過點B、D兩點的直線與x軸交于點E，若點F是拋物線上一點，以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標；
（3）如圖（2）P（2，3）是拋物線上的點，Q是直線AP上方的拋物線上一動點，求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先將點A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值．再通過配方、令函數值為0可求出頂點D以及點C的坐標．
（2）由圖可知：若以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，令EF∥AB顯然不符合要求，那么只需考慮BF∥AE即可，那么還需滿足BF=AE；首先求出直線BD的解析式，進而得出點E的坐標以及AE、BF的長，由此可確定點F的坐標，再代入拋物線的解析式中驗證即可．
（3）分別過點P、Q作x軸的垂線，那么△APQ的面積可由五邊形和△APS（以解答圖為準）的面積差求得，在得到關于△APQ的面積和Q點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可確定該題的答案．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經過A（-1，0）、B（0，3）兩點，有：
，
解得
拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
∵由-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3
∴C（3，0）
∵由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴D（1，4）．

（2）∵四邊形AEBF是平行四邊形，
∴BF=AE． 
設直線BD的解析式為：y=kx+b，則
∵B（0，3），D（1，4）
∴，
解得
∴直線BD的解析式為：y=x+3；
當y=0時，x=-3
∴E（-3，0），∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，∴AE=2，
∴BF=2，
∴F的橫坐標為2，
∴y=3，
∴F（2，3）．

（3）如圖，設Q（a，-a²+2a+3），作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，且P（2，3），
∴AR=a+1，QR=-a²+2a+3，PS=3，RS=2-a，AS=3
∴S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA
=
=
∴S_△PQA==
∴當時，S_△PQA的最大面積為，
此時Q．
點評：本題主要考查了二次函數、頂點坐標、平行四邊形的性質、三角形的面積等基礎知識，考查了計算能力．在解題時，要注意數形結合數學思想的合理應用．