Question

觀察下列各式：1×2×3×4+1=5²=（1²+3×1+1）²，
2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）²，
3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，
4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，
…
（1）根據(jù)你觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出8×9×10×11+1的結(jié)果；
（2）試猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一個(gè)數(shù)的平方？并說明理由．

Answer 1

解：（1）觀察下列各式：1×2×3×4+1=5²=（1²+3×1+1）²，2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）²，
3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，得出規(guī)律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²（n≥1），
8×9×10×11+1=（8²+3×8+1）²=89²；

（2）根據(jù)（1）得出的結(jié)論得出：
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
分析：（1）觀察下列各式：1×2×3×4+1=5²=（1²+3×1+1）²，2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）²，
3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，得出規(guī)律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²（n≥1），
所以8×9×10×11+1=（8²+3×8+1）²=89²；
（2）根據(jù)（1）得出的規(guī)律可得出結(jié)論．
點(diǎn)評：通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．本題的關(guān)鍵規(guī)律為n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²（n≥1）．