Question

19．如圖，有一塊矩形鋼板ABCD，先截去了一個直角三角形AEF，得到一個五邊形EBCDF，已知AB=200cm，BC=160cm，AE=60cm，AF=40cm，要從這塊鋼板上再截出一塊矩形板料，如何設計才能使矩形板料的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 在EF上取一點P，過點P作QR∥AD，過點P作PO∥AB，設PO=xcm，矩形POCR的面積為ycm²，利用△PQE∽△FAE求得PQ=$\frac{2}{3}$（x-140），繼而知RP=160-$\frac{2}{3}$（x-140）=$\frac{2}{3}$（380-x），根據(jù)矩形面積公式轉化為二次函數(shù)的問題確定函數(shù)的最大值即可解決問題．

解答 解：如圖，在EF上取一點P，過點P作QR∥AD，過點P作PO∥AB，

設PO=xcm，矩形POCR的面積為ycm²，
由題意知△PQE∽△FAE，
∴$\frac{PQ}{FA}$=$\frac{QE}{AE}$，即$\frac{PQ}{40}$=$\frac{x-（200-60）}{60}$，
∴PQ=$\frac{2}{3}$（x-140），
∴RP=160-$\frac{2}{3}$（x-140）=$\frac{2}{3}$（380-x），
∴y=x[$\frac{2}{3}$（380-x）]=-$\frac{2}{3}$（x-190）²+$\frac{72200}{3}$，（140≤x≤200），
∴當x=190時，最大面積為$\frac{72200}{3}$cm²，
答：在EF上取一點P，使其到BC的距離為190cm，沿點P且平行于矩形的兩邊截取矩形面積最大，最大面積為$\frac{72200}{3}$cm²．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型來解決實際問題，理解函數(shù)的最值及其幾何意義是解題的關鍵．