Question

（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．
（2）如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內一點，且∠APC=120°，證明：PA+PD+PC≥BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證BC+DC=AC，延長BC到E，使CE=CD，則求AC=BE即可．由AB=AD，∠ABD=60°，連接BD后得△ABD是等邊三角形，進而得∠ADB=60°，AD=BD，又有，∠BCD=120°，則△DCE是等邊三角形，所以得△ACD≌△BDE，則AC=BE=BC+CD．
（2）由題（1）的結論則PB=QC=PA+PC，在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD，
解答：（1）證明：連接BD，延長BC到點E，使CE=CD，連接DE
∵AB=AD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
又∵∠BCD=120°CE=CD，
∴∠DCE=180°-∠BCD=60°，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠CDE=∠ADB=60°，DC=DE，
∴∠ADC=∠BDE，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDE，
∴AC=BE=BC+CE，
即AC=BC+CD．

（2）把線段AP繞點A逆時針旋轉60度，到AQ．連接AC、PQ，
∴AP=AQ，△APQ為正三角形，
∴∠QAP=60°，QP=AP，
又∵∠APC=120°，
∴∠APC+∠APQ=180°，則C，P，Q在同一條直線上．
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠ABC+∠PAC=∠QAP+∠PAC，即∠QAC=∠PAB，
△ABP≌△ACQ（SAS），
PB=QC=PA+PC，
在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD．
點評：此題考查了全等三角形的判定和性質，以及三角形三邊之間的關系，同學們應該熟練掌握．