Question

（2004•荊門）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是的中點，過點D作AC的延長線的垂線DP，垂足為P．若PD=12，PC=8，求⊙O的半徑R的長．

Answer 1

【答案】分析：連接BC、OD，相交于點E．因為D是弧BC的中點，根據垂徑定理及推論可以知道OD⊥BC，且BE=CE，而AB是直徑，可以推出∠ACB=90°；而已知∠APD=90°，這樣可以推出PD∥BC，然后可以推出PD為⊙O的切線，四邊形PDEC為矩形，再根據切割線定理求出PA，最后在Rt△ACB中利用勾股定理求出圓的半徑．
解答：解：連接BC、OD，相交于點E；
∵點D是的中點，
∴OD⊥BC，且BE=CE，（2分）
∵∠ACB=∠APD=90°，
∴PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∴PD為⊙O的切線；（4分）
∵四邊形PDEC為矩形，
∴PD=CE=12，
∴BC=2CE=24；（6分）
∵PD²=PC•PA，
∴=18，
∴AC=PA-PC=18-8=10；（8分）
∵AB²=AC²+BC²=10²+24²=676，
∴AB=26，
∴⊙O的半徑R=13（10分）．
點評：此題主要考查了垂徑定理，切線的判定定理，切割線定理及勾股定理的綜合運用．