Question

（2007•日照）如圖，把邊長為1的正方形ABCD繞頂點A逆時針旋轉30°到正方形AB′C′D′，則它們的公共部分的面積等于    ．

Answer 1

【答案】分析：作B′F⊥AD，垂足為F，WE⊥B′F，垂足為E，根據繞頂點A逆時針旋轉30°，計算出邊，然后求面積．
解答：解：如圖，作B′F⊥AD，垂足為F，WE⊥B′F，垂足為E，
∵四邊形WEFD是矩形，∠BAB′=30°，
∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，
∴B′F=AB′sin60°=，AF=AB′cos60°=，WE=DF=AD-AF=，
EB′=WE′cot60°=，EF=B′F-B′E=，
∴S_△B′FA=，S_△B′EW=，S_WEFD=，
∴公共部分的面積=S_△B′FA+S_△B′EW+S_WEFD=；
法2：連接AW，如圖所示：

根據旋轉的性質得：AD=AB′，∠DAB′=60°，
在Rt△ADW和Rt△AB′W中，
∵，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL），
∴∠B′AW=∠DAW=DAB′=30°，
又∵AD=AB′=1，
在Rt△ADW中，tan∠DAW=，即tan30°=WD，
解得：WD=，
∴S_△ADW=S_△AB′W=WD•AD=，
則公共部分的面積=S_△ADW+S_△AB′W=．
故答案為．
點評：本題利用了正方形的性質，三角形的面積公式，勾股定理求解．