Question

已知拋物線y=x²-4x+3與x軸交于兩點(diǎn)A、B（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-3）是否在該拋物線上？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求∠ABC的度數(shù)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線上，且使得△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入解析式，運(yùn)用反證法就可以證明出結(jié)論．
（2）由拋物線的解析式可以求出OC、OB的值，得出OC=OB，由△BOC是直角三角形，就可以求出∠ABC=45°．
（3）由BC是直角邊，當(dāng)∠PBC=90°時(shí)可以求出此時(shí)P的值，當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，可以求出P1C的解析式，根據(jù)拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)而求出此時(shí)P₁的坐標(biāo)．

解答：解：（1）假如點(diǎn)M（m，-3）是在該拋物線上，
∴-3=m²-4m+3，
∴m²-4m+6=0．
∴△=（-4）²-4×1×6=-8＜0，
∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-3）是不在該拋物線上．

（2）當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，由于點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（1，0），B（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C（0，3），
∴OB=OC=3．
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
即∠ABC=45°．

（3）假設(shè)存在△PBC是以BC為直角邊的直角三角形．當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，∵∠ABC=45°，
∴∠PBO=45°，
∴P（2，-1）；
當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，設(shè)直線PC交x軸于Q，
∵∠ABC=45°，
∴∠BQC=45°，
∴OQ=OC=3，Q（-3，0），
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，則，

3=b 0=-3k+b

，
∴

k=1 b=3

，
∴直線的解析式為：y=x+3．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴

y=x+3 y=x2-4x+3

，
解得．x₁=0（舍去），x₂=5
∴當(dāng)x=5時(shí)，y=8，此時(shí)P₁（5，8）
∴存在點(diǎn)P（2，-1）或（5，8）使得△PBC是以BC為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的運(yùn)用，根的判別式的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)及運(yùn)用．