Question

把一塊三角板置于平面直角坐標(biāo)系中，三角板的直角頂點(diǎn)為，兩直角邊與軸交于、，如圖1，測得，.以為頂點(diǎn)的拋物線恰好經(jīng)過、兩點(diǎn),拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn).

(1) 填空:     ,      ,點(diǎn)的坐標(biāo)為       ；

(2)設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，過作直線⊥軸,垂足為.如圖2,把三角板繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其中一條直角邊恰好過點(diǎn)，另一條直角邊與拋物線的交點(diǎn)為，試問：點(diǎn)、、三點(diǎn)是否在同一直線上？請說明理由.

(3)在（2）的條件下，若為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn), 連結(jié)、，過作⊥,垂足為.試探索：是否存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），，（2）點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上，理由見解析，(3) 當(dāng)，4或時(shí)，是以為腰的等腰三角形.

【解析】解：（1），，………………（3分）

（2）過作⊥于點(diǎn)，

則有，

由題意可知，，即

∵⊥軸

∴

∴

∴∽，所以………（4分）

(注：本式也可由得到)

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，又，，

∴解得，（不合舍去）.

∴點(diǎn)坐標(biāo)為    …………………（6分）

又設(shè)直線的解析式為,由題意得

解得

∴直線的解析式為

,    …………………（7分）

當(dāng)時(shí),

∴點(diǎn)在直線上,即點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上. ……………（8分）

（３）存在.

由勾股定理可得：

,  , ……………（9分）

當(dāng)時(shí)，有

 ∴　　解得

又∵在拋物線上，

∴　

∴解得,      …………………（11分）

當(dāng)時(shí)，有，

∴　　解得，（不合題意舍去）

由解得：，

綜上所述，當(dāng)，4或時(shí)，是以為腰的等腰三角形. ……………（13分）

（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式，計(jì)算即可求得值；

（2）過作⊥于點(diǎn)，證得∽，得出，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的解析式，把代入的解析式，得出結(jié)論

（３）由勾股定理可得：,  ,，分兩種情況討論，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，求出的值