Question

把一塊三角板置于平面直角坐標系中，三角板的直角頂點為，兩直角邊與軸交于、，如圖1，測得，.以為頂點的拋物線恰好經(jīng)過、兩點,拋物線的對稱軸與軸交于點.

(1) 填空:     ,      ,點的坐標為       ；

(2)設拋物線與軸交于點，過作直線⊥軸,垂足為.如圖2,把三角板繞著點旋轉一定角度，使其中一條直角邊恰好過點，另一條直角邊與拋物線的交點為，試問：點、、三點是否在同一直線上？請說明理由.

(3)在（2）的條件下，若為拋物線上的一動點, 連結、，過作⊥,垂足為.試探索：是否存在點，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），，（2）點、、三點在同一直線上，理由見解析，(3) 當，4或時，是以為腰的等腰三角形.

【解析】解：（1），，………………（3分）

（2）過作⊥于點，

則有，

由題意可知，，即

∵⊥軸

∴

∴

∴∽，所以………（4分）

(注：本式也可由得到)

設點坐標為，則，，又，，

∴解得，（不合舍去）.

∴點坐標為    …………………（6分）

又設直線的解析式為,由題意得

解得

∴直線的解析式為

,    …………………（7分）

當時,

∴點在直線上,即點、、三點在同一直線上. ……………（8分）

（３）存在.

由勾股定理可得：

,  , ……………（9分）

當時，有

 ∴　　解得

又∵在拋物線上，

∴　

∴解得,      …………………（11分）

當時，有，

∴　　解得，（不合題意舍去）

由解得：，

綜上所述，當，4或時，是以為腰的等腰三角形. ……………（13分）

（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性以及等腰直角三角形的性質求出點A的坐標，然后代入函數(shù)解析式，計算即可求得值；

（2）過作⊥于點，證得∽，得出，設點坐標為，代入求得點坐標，求得直線的解析式，把代入的解析式，得出結論

（３）由勾股定理可得：,  ,，分兩種情況討論，①當時，②當時，求出的值