(2011•歷城區(qū)一模)已知:直角梯形OABC中,BC∥OA,∠AOC=90°,以AB為直徑的圓M交OC于D、E,連接AD、BD、BE.

(1)在不添加其他字母和線的前提下,直接寫出圖1中的兩對(duì)相似三角形.
______,______;
(2)直角梯形OABC中,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系(如圖2),若拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)經(jīng)過點(diǎn)A、B、D,且B為拋物線的頂點(diǎn).
①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示)______;
②求拋物線的解析式;
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P:過點(diǎn)P做PN⊥x軸于N,使得△PAN與△OAD相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)由圓周角定理知:∠ADB=90°,首先可聯(lián)想到的相似三角形是△BCD和△DOA;易知∠BAD=∠BED,可得的另一對(duì)相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC;
(2)①用公式法或配方法均能求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
②根據(jù)拋物線的解析式,易求得B、D、A的坐標(biāo),也就得到了OA、OD、CD、BC的長(zhǎng),根據(jù)(1)得出的相似三角形,即可根據(jù)對(duì)應(yīng)的成比例線段求出a的值,也就能求出拋物線的解析式;
③由②易知△OAD是等腰Rt△,若△PAN與△OAD相似,則△PAN也必須是等腰Rt△;可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)PN=AN的條件來求出P點(diǎn)的坐標(biāo).(注意P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍)
解答:解:(1)△OAD∽△CDB,△ADB∽△ECB;(4分)

(2)①(1,-4a)(5分)
②∵△OAD∽△CDB
(6分)
∵ax2-2ax-3a=0,可得A(3,0)(8分)
又∵OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,

∴a2=1,
∵a<0,
∴a=-1;
故拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3(10分)
③存在,(11分)
設(shè)P(x,-x2+2x+3)
∵△PAN與△OAD相似,且△OAD為等腰三角形
∴PN=AN
當(dāng)x<0(x<-1)時(shí),-x+3=-(-x2+2x+3),x1=-2,x2=3(舍去),
∴P(-2,-5)(13分)
當(dāng)x>0(x>3)時(shí),x-3=-(-x2+2x+3),x1=0,x2=3;(都不合題意舍去)
符合條件的點(diǎn)P為(-2,-5).(14分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了直角梯形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等,涉及知識(shí)點(diǎn)較多,難度較大.
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(1)在不添加其他字母和線的前提下,直接寫出圖1中的兩對(duì)相似三角形.
______,______;
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①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示)______;
②求拋物線的解析式;
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P:過點(diǎn)P做PN⊥x軸于N,使得△PAN與△OAD相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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______,______;
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①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示)______;
②求拋物線的解析式;
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P:過點(diǎn)P做PN⊥x軸于N,使得△PAN與△OAD相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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