Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=上．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合），過點(diǎn)M作∥BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0，4），以及頂點(diǎn)在直線x=上，得出b，c即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x=5或2時(shí)，y的值即可．
（3）首先設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當(dāng)x=時(shí)，求出y即可；
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進(jìn)而得出，得到ON=，進(jìn)而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）
∴c=4，
∵頂點(diǎn)在直線x=上，
∴-=-=，
∴b=-；
∴所求函數(shù)關(guān)系式為；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），
當(dāng)x=5時(shí)，y=，
當(dāng)x=2時(shí)，y=，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

（3）設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，
設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
則，
解得：，
∴，
當(dāng)x=時(shí)，y=，
∴P（），

（4）∵M(jìn)N∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴即得ON=，
設(shè)對(duì)稱軸交x于點(diǎn)F，
則（PF+OM）•OF=（+t）×，
∵，
S_△PNF=×NF•PF=×（-t）×=，
S=（-），
=-（0＜t＜4），
a=-＜0∴拋物線開口向下，S存在最大值．
由S_△PMN=-t²+t=-（t-）²+，
∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值是，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及菱形性質(zhì)和待定系數(shù)法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數(shù)的最值求出是解題關(guān)鍵．