Question

（2010•河北區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB=BC=AC=3，O是它的中心，以O(shè)為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C′，則△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積為

3 3

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)正三角形的邊長是3，求出正三角形的高，從而得正三角形的面積，再根據(jù)以等邊△ABC的中心O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C′可得到D點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AH的中點(diǎn)，M、Q、H、F為等邊△ABC各邊的三等分點(diǎn)，得每一個小三角形的面積，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：過A作AE⊥CB于E，
∵AB=BC=AC=3，
∴EB=1.5，
∴AE=

AB2-EB2

=

9-2.25

=

3 3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

•CB•AE=

1

2

×3×

3 3

2

=

9

4

3

，
∵以等邊△ABC的中心O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C′，
∴DF=PQ=

1

3

BC，MH=

2

3

BC，
∴DF=

1

2

MH，
∴D點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AH的中點(diǎn)，
同理得到M、Q、H、F為等邊△ABC各邊的三等分點(diǎn)，
∴每一個小三角形的面積是

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∴陰影部分的面積是

9 3

4

-3×

3

4

=

3

2

3

．
故答案為：

3 3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是求出正三角形ABC的面積與每一個小三角形的面積．