Question

設P是等腰直角三角形ABC的斜邊AC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥EF于G，在GP的延長線上取點D，使PD=PB，則BC與CD之間必有（ ）關系

1. A.
   相等但不垂直
2. B.
   不相等但垂直
3. C.
   既相等又垂直
4. D.
   既不相等也不垂直

Answer 1

C
分析：此題關鍵是證△PBC≌△PDC，已有PB=PD，PC是公共邊，只需再證明∠CPD=∠CPB，而∠CPD=∠APG，則證明∠APG=∠CPB，進而需要證明∠1=∠2，可利用同角的余角相等證明．
解答：
∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∠ABC=90°，
∴BEPF是矩形（三角都是直角的四邊形是矩形），
∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵PG⊥EF，
∴∠PEF+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠APE=∠CPF=45°，
∴∠APE+∠2=∠CPF+∠1，
即∠APG=∠CPB，
∵∠CPD=∠APG，
∴∠CPD=∠CPB，
又PB=PD，PC是公共邊，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴BC=CD，∠PCB=∠PCD=45°，
∴∠PCB+∠PCD=90°，
即BC⊥CD．
故選C．
點評：此題主要考查三角形全等的判定和性質，綜合利用了等腰直角三角形的性質，和矩形的判定和性質等知識點，難度較大．