Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，若將△ABC沿CA的方向平移CA的長，得△EFA，
（1）若△ABC的面積為3cm²，求四邊形BCEF的面積
（2）試猜想AF與BE有何關(guān)系？
（3）若∠BAC=60°，求∠FEB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，利用平行四邊形的判定方法可得到四邊形AEFB是平行四邊形，則S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，然后利用四邊形BCEF的面積=3S_△ABC進(jìn)行計(jì)算；
（2）由于AB=AC，而AE=AC，則AB=AE，利用（1）中證得的四邊形AEFB是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定方法有四邊形AEFB是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AF與BE互相垂直平分；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得△EFA≌△ABC，所以∠AEF=∠CAB=60°，由于四邊形AEFB是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BE平分∠AEF，于是∠FEB=30°．
解答：解：（1）∵將△ABC沿CA的方向平移CA的長，得△EFA，
∴AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，
∴四邊形AEFB是平行四邊形，
∴S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，
∴四邊形BCEF的面積=3S_△ABC=9 cm²；

（2）AF與BE互相垂直平分．理由如下：
∵AB=AC，
而AE=AC，
∴AB=AE，
∵四邊形AEFB是平行四邊形，
∴四邊形AEFB是菱形，
∴AF與BE互相垂直平分；

（3）∵△EFA≌△ABC，
∴∠AEF=∠CAB=60°，
∵四邊形AEFB是菱形，
∴BE平分∠AEF，
∴∠FEB=30°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)：四邊相等的四邊形為菱形；鄰邊相等的平行四邊形為菱形；菱形的對(duì)角線互相垂直平分，且對(duì)角線平分對(duì)角．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)．