Question

如圖，直線y=kx+b分別交y軸、x 軸于A（0、2）、B（4、0））兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）設(shè)N（x、y）是（1）所得拋物線上的一個動點，過點N作直線MN垂直x軸交直線AB于點M，若點N在第一象限內(nèi)．試問：線段MN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線y=kx+b分別交y軸、x 軸于A（0、2）、B（4、0））兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點，利用待定系數(shù)法即可求得直線和拋物線的解析式；
（2）假設(shè)x=t時，線段MN的長度是否存在最大值，可得M（t，-t+2），N（t，-t²+t+2），則可得MN=（-t²+t+2）-（-t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，然后由二次函數(shù)的最值問題，求得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵直線y=kx+b分別交y軸、x 軸于A（0、2）、B（4、0））兩點，
∴，
解得：．
∴直線為：y=-x+2，…（3分）
將x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得：c=2，…（4分）
將x=4，y=0代入y=-x²+bx+2，
得：0=-16+4b+2，
解得：b=，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+2；…（6分）

（2）存在．
假設(shè)x=t時，線段MN的長度是否存在最大值，
由題意易得：M（t，-t+2），N（t，-t²+t+2），…（8分）
∴MN=（-t²+t+2）-（-t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，…（10分）
∴當t=2時，MN有最大值4；…6 分

（3）由題意可知，D的可能位置有如圖三種情形．…（11分）
當D在y軸上時，
設(shè)D的坐標為（0，a）
由AD=MN得|a-2|=4，
解得a₁=6，a₂=-2，
∴D為（0，6）或D（0，-2）；…（13分）
當D不在y軸上時，由圖可知D為D₁N與D₂M的交點，
∵直線D₁N的解析式為：y=-x+6，直線D₂M的解析式為：y=x-2，
由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）．…（14分）
綜上可得：所求的D為（0，6），（0，-2）或（4，4）．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問題以及平行四邊形的性質(zhì)等知識．此題難度較大，綜合性強，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．