Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰三角形，AB=AC，將△AOC沿直線AC折疊，點O落在直線AD上的點E處，直線AD的解析式為，則
（1）AO=______；AD=______；OC=______；
（2）動點P以每秒1個單位的速度從點B出發(fā)，沿著x軸正方向勻速運動，點Q是射線CE上的點，且∠PAQ=∠BAC，設P運動時間為t秒，求△POQ的面積S與t之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，直線CE上是否存在一點Q，使以點Q、A、D、P為頂點的四邊形是平等四邊形？若存在，求出t值及Q點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A、D是直線y=-x+6上的點，
∴A（0，6），D（8，0），
∴AO=6，OD=8；
∵△AOD是直角三角形，
∴AD===10，
∵△ACE由△ACO反折而成，
∴AE=AO=6，CE⊥AD，
∴DE=QD-AE=10-6=4，
∵∠ADO=∠ADO，∠AOD=∠CED，
∴△AOD∽△CED，
∴=，=，解得CD=5，
∴OC=OD-CD=8-5=3．

（2）當P在線段BO上時，即0＜t＜3時；
∵∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面積為：S=OP•CQ•sin∠ECD=（3-t）×t，即S=-t²+t；
當P在x軸正半軸上時，即t＞3時；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=OP•CQ•sin∠ECD=（t-3）×t，
即S=t²-t；
綜上可知：S=；

（3）分兩種情況：
①0＜t＜3時，顯然不存在以AD為邊的情況，那么只考慮以AD為對角線的情況；
此時P（t-3，0），取易知AD的中點為：（4，3）；
∵平行四邊形中，以AD、PQ為對角線，
∴AD的中點也是PQ的中點；
∴Q（11-t，6）；
∵直線CE：y=x-4，代入Q點坐標得：
（11-t）-4=6，解得t=；即BP=CQ=，
∴Q（×+3，×），即Q（，）；
②t＞3時，顯然不存在以AD為對角線的情況，那么只考慮以AD為邊的情況；
此時PF∥DP，即F點縱坐標為6，由①得，此時F（，6）；
即DP=AF=，BP=BD+DP=11+=，即t=；
此時CQ=BP=，同①可求得：Q（，）．
綜上可知：存在符合條件的F點，此時的t值和Q點坐標分別為：t=，Q（，）或t=，Q（，）．
故答案為：10，6，3．
分析：（1）先根據A、D是直線y=-x+6上的點求出A、D兩點的坐標，再根據勾股定理求出AD的長，由圖形反折變換的性質得出AE=AO=6，CE⊥AD，根據相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CED，由相似三角形的對應邊成比例即可求出CD的長，進而得出OC的長；
（2）此題應注意運用全等三角形來求解；由已知條件∠PAQ=∠BAC，可推出∠BAP=∠CAQ（兩個等角減去或加上一個同角），從而證得△BAP≌△CAQ，得BP=CQ，以OP為底、CE•sin∠ECD為高即可求得△POQ的面積表達式，由此求得S、t的函數關系式；需要注意的是，在表示OP長時，要分兩種情況：
①點P在線段OB上，②點P在x軸正半軸上．
（3）此題按兩種情況考慮即可：①以AD為邊，②以AD為對角線；可運用平行四邊形的性質結合直線CE的解析式來求解．
點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到圖形的翻折變換、一次函數解析式的確定、相似三角形及全等三角形的判定和性質、以及平行四邊形的判定等知識，同時考查了分類討論數學思想的引用，難度較大．