Question

如圖，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，BP=2，AP=2

3

cm，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：連接OA，由AP為圓的切線，得到OA與AP垂直，在直角三角形OAP中，設(shè)OA=OB=x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式求出弧AB長(zhǎng)，即可確定出陰影部分的周長(zhǎng)，直角三角形OAP的面積減去扇形AOB面積即可確定出陰影部分面積．

解答：解：連接OA，由AP為圓O的切線，得到OA⊥AP，
設(shè)OA=OB=xcm，則OP=OB+BP=（x+2）cm，AP=2

3

cm，
根據(jù)勾股定理得：OP²=OA²+AP²，即（x+2）²=x²+12，
解得：x=2，即OA=OB=2，
∴OP=2+2=4cm，
∵Rt△AOP中，OA=

1

2

OP，
∴∠P=30°，
∴∠AOB=60°，
∴

AB

的長(zhǎng)為

60π×2

180

=

2π

3

，S_扇形AOB=

60π×4

360

=

2π

3

，
則陰影部分的周長(zhǎng)為

2π

3

+2

3

+2（cm），面積為S_△AOP-S_扇形AOB=

1

2

×2×2

3

-

2π

3

=2

3

-

2π

3

（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積及弧長(zhǎng)公式，以及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．