解:(1)拋物線y=ax
2+bx-4a經(jīng)過A(1,0)、C(0,4)兩點(diǎn),
∴
解得
∴此拋物線的解析式為y=-x
2-3x+4.
(2)∵點(diǎn)D(m,1-m)在拋物線y=-x
2-3x+4上,
∴-m
2-3m+4=1-m,
解之,得m
1=-3,m
2=1.
∵點(diǎn)D在第二象限,
∴D(-3,4).
令y=-x
2-3x+4=0,
得x
1=1,x
2=-4.
∴B(-4,0).
∴∠CBO=45°.
連接DC,
易知DC∥BA,DC⊥CO,DC=3,
∴∠DCB=∠CBO=45°.
∴∠BCD=45°.
過點(diǎn)D作DE⊥BC于E,延長DE交y軸于F,
∴∠D=45°.
∴∠CFE=45°.
∴DE=CE=EF.
∴點(diǎn)F即為點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn).
∴CD=CF=3.
∴F(0,1).
(3)∵∠CDB>90°,∠BCD=45°,
∴∠DBC<45°
∵∠DBP=45°,
∴點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上.
在Rt△DCE中,DC=3,∠DCE=45°,
∴DE=EC=
.
在Rt△BCO中,OB=OC=4,
∴BC=4
.
∴BE=
.
∴在Rt△BDE中,tan∠DBE=
.
∵∠DBP=∠CBO=45°,
∴∠DBC=∠PBO.
∴tan∠DBC=tan∠PBO=
.
過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M,
∴在Rt△BDE中,tan∠PBO=
=
.
設(shè)PM=3t,則BM=5t,
∴OM=5t-4.
∴P(5t-4,3t).
∴-(5t-4)
2-3(5t-4)+4=3t.
解得t
1=0,t
2=
.
∴P(
,
).
分析:(1)由拋物線y=ax
2+bx-4a經(jīng)過A(1,0)、C(0,4)兩點(diǎn),利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;
(2)由點(diǎn)D(m,1-m)在拋物線y=-x
2-3x+4上,即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),則可求得∠CBO的度數(shù),然后過點(diǎn)D作DE⊥BC于E,延長DE交y軸于F,又由點(diǎn)F即為點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn),即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)由∠CDB>90°,∠BCD=45°,可得點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上.然后在Rt△DCE中與Rt△BCO中,Rt△BDE中,由三角函數(shù)的知識(shí)求得∠PBO的正切值,然后過點(diǎn)P作PM⊥x軸于M,在Rt△BDE中,利用三角函數(shù)的知識(shí)即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
點(diǎn)評:此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,點(diǎn)的對稱性,直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的知識(shí).此題綜合性很強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是方程思想、轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.