【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=4,P是CD邊上的動點(P點不與C、D重合),過點P作直線與BC的延長線交于點E,與AD交于點F,且CP=CE,連接DE、BP、BF,設CP═x,△PBF的面積為S1 ,△PDE的面積為S2 .
(1)求證:BP⊥DE.
(2)求S1﹣S2關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍.
(3)分別求當∠PBF=30°和∠PBF=45°時,S1﹣S2的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)S1﹣S2= x2(0<x<4);(3)①當∠PBF=30°時,S1﹣S2=;②當∠PBF=45°時,S1﹣S2=.
【解析】試題分析:(1)首先延長BP交DE于M.然后依據(jù)SAS可證明△BCP≌△DCE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠BCP=∠CDE,由∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,即可推出∠CDE+∠DPM=90°;
(2)根據(jù)題意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE,然后依據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式即可;
(3)分當∠PBF=30°和∠PBF=45°兩種情形分別求出PC的長,最后再利用(2)中結(jié)論進行計算即可.
試題解析:(1)如圖1中,延長BP交DE于M,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠BCP=∠DCE=90°,
∵CP=CE,
∴△BCP≌△DCE,
∴∠BCP=∠CDE,
∵∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,
∴∠CDE+∠DPM=90°,
∴∠DMP=90°,
∴BP⊥DE;
(2)由題意S1﹣S2=(4+x)x﹣ (4﹣x)x=x2(0<x<4);
(3)①如圖2中,當∠PBF=30°時,
∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°,∠FDP=90°,
∴∠PFD=∠DPF=45°,
∴DF=DP,∵AD=CD,
∴AF=PC,∵AB=BC,∠A=∠BCP=90°,
∴△BAF≌△BCP,
∴∠ABF=∠CBP=30°,
∴x=PC=BCtan30°=,
∴S1﹣S2=x2=;
②如圖3中,當∠PBF=45°時,在CB上截取CN=CP,連接PN,
由①可知△ABF≌△BCP,
∴∠ABF=∠CBP,
∵∠PBF=45°,
∴∠CBP=22.5°,
∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°,
∴∠NBP=∠NPB=22.5°,
∴BN=PN=x,
∴x+x=4,
∴x=4 ﹣4,
∴S1﹣S2=(4 ﹣4)2=48﹣32 .
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,小紅家陽臺上放置了一個曬衣架.如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖,立桿AB,CD相交于點O,B,D兩點立于地面,經(jīng)測量:AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開,扣鏈EF成一條直線,且EF=32cm.(參考數(shù)據(jù):sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan28.1°≈0.534)
(1)求證:AC∥BD;
(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)(精確到0.1°);
(3)小紅的連衣裙穿在衣架后的總長度達到122cm,垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面?請通過計算說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,若點P(m,m﹣n)與點Q(﹣2,3)關(guān)于原點對稱,則點M(m,n)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).
(1)若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1,已知點C1的坐標為(4,0),寫出頂點A1,B1的坐標;
(2)若△ABC和△A2B2C2關(guān)于原點O成中心對稱圖形,寫出△A2B2C2的各頂點的坐標;
(3)將△ABC繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A3B3C3,寫出△A3B3C3的各頂點的坐標.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=kx+b經(jīng)過點A(﹣30,0)和點B(0,15),直線y=x+5與直線y=kx+b相交于點P,與y軸交于點C.
(1)求直線y=kx+b的解析式.
(2)求△PBC的面積.
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【題目】一列快車由甲地開往乙地,一列慢車由乙地開往甲地,兩車同時出發(fā), 勻速運動. 快車離乙地的路程y1(km) 與行駛的時間x(h) 之間的函數(shù)關(guān)系, 如圖中線段AB 所示;慢車離乙地的路程y2(km) 與行駛的時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系, 如圖中線段OC 所示。根據(jù)圖象下列問題:
(1) 甲、乙兩地之間的距離為__________km ;
(2) 線段AB 的解析式為_______________________;線段OC 的解析式為_________________________;
(3) 設快、慢車之間的距離為y(km), 求y 與慢車行駛時間x(h) 的函數(shù)關(guān)系式, 并畫出函數(shù)的圖象。
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