Question

（2012•寧波一模）已知：如圖，Rt△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為E、F、H，∠ABC=90°，直線FE、CB交于D點(diǎn)，連接AO、HE，則下列結(jié)論：
①∠FEH=45°+∠FAO；②BD=AF；③AB²=AO•DF；④AE•CH=S_△ABC
其中正確的是（　　）

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①②③

Answer 1

分析：連接OE，OH，OF，OB，
①由切線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再圓周角定理即可得到證明結(jié)論正確；
②根據(jù)已知條件知道四邊形OEBH是正方形，然后證明△BDE≌△FAO，然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；
③根據(jù)已知條件可以證明△DFH∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和已知條件即可證明結(jié)論正確；
④根據(jù)直角三角形的面積公式直接解答即可．

解答：解：①連接OE，OH，則OE⊥AB，OH⊥BC，
得出：∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，
根據(jù)圓周角定理得∠FEH=

1

2

∠FOH=45°+∠FAO，故此選項(xiàng)正確；

②連接OF，由①得四邊形OEBH是正方形，
則圓的半徑=BE，
∴OF=BE，
又∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
則△BDE≌△FAO（SAS），
∴BD=AF；
故此選項(xiàng)正確；

③∵Rt△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為E、F、H，
∴BE=BH，AF=AE，
根據(jù)②得BD=AF，
∴BD=AE（等量代換），
∴AB=DH；
連接OB、FH．
∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，
∴△DFH∽△ABO，
則DH•AB=AO•DF，又AB=DH，
所以AB²=AO•DF；故此選項(xiàng)正確．

④設(shè)△ABC的三邊分別為a，b，c，則AE=

b+c-a

2

，CH=

a+b-c

2

，AE•CH=

(b+c-a)(a+b-c)

4

=

ab

2

=S_△ABC．
故S_△ABC=

1

2

AB•BC=AE•CH；
故此選項(xiàng)正確；
綜上所述，正確的說法有①②③④；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．此題綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、切線長定理、圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，綜合性比較強(qiáng)．