Question

如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線(xiàn)狀，MN=4m，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)到線(xiàn)段MN的距離是4m，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上，點(diǎn)A、D落在拋物線(xiàn)上，這樣截下的矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8m？

Answer 1

分析：以MN為x軸，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，得出M、N及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線(xiàn)的解析式，設(shè)A（x，y），建立含x的方程，矩形鐵皮的周長(zhǎng)能否等于8米，取決于求出x的值是否在已求得的拋物線(xiàn)解析式中自變量的取值范圍內(nèi)．

解答：解：以MN所在的直線(xiàn)為x軸，以MN的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則N（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+4，將N（2，0）代入得：
4a+4=0，
解得：a=-1，
則拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+4，
因?yàn)辄c(diǎn)A、D落在拋物線(xiàn)上，
設(shè)A（m，-m²+4）（0＜m＜2），則D（-m，-m²+4），
所以矩形鐵皮的周長(zhǎng)為4m+2（4-m²）=-2m²+4m+8，
假如截下的矩形鐵皮的周長(zhǎng)等于8，
則-2m²+4m+8=8，
解得m₁=0，m₂=2，
但這兩個(gè)解都不在0＜m＜2的范圍內(nèi)，
所以這樣截下的矩形鐵皮的周長(zhǎng)不可能等于8m．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的常用方法，同一問(wèn)題有不同的建模方式，通過(guò)分析比較可獲得簡(jiǎn)解．