Question

已知正方形ABCD與CEFG的邊長分別為a、b，連結(jié)DE、AF．固定正方形ABCD，將正方形CEFG繞定點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α度（0＜α＜180）．設(shè)DE=x，AF=y．
（1）若a=4cm，b=2cm，求旋轉(zhuǎn)過程中y的取值范圍；
（2）對(duì)于旋轉(zhuǎn)角度為銳角和鈍角兩種情況，畫出圖象；
（3）探究y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接AC，CF，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC=4

2

cm，CF=2

2

cm，∠ACD=45°，∠GCF=45°，由于當(dāng)α=90°時(shí)，C、F、A三點(diǎn)共線，此時(shí)AF最小，易得最小值=2

2

cm，當(dāng)α=0°或180°時(shí)，AF最長，利用勾股定理可計(jì)算出AF=2

10

cm，于是得到旋轉(zhuǎn)過程中y的取值范圍為2

2

cm≤y＜2

10

cm；
（2）分兩種情況畫圖；
（3）分類討論：當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，連接AC，CF，如圖3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCE=90°-α，∠ACF=90°-α，則∠DCE=∠ACF，由于CD=a，AC=

2

a，CE=b，CF=

2

b，則

AC

CD

=

CF

CE

=

2

，則根據(jù)三角形相似的判定方法得到△ACF∽△DCE，所以

AF

DE

=

AC

CD

=

2

，即y=

2

x；對(duì)于當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，同樣可得y=

2

x．

解答：解：（1）連接AC，CF，如圖，
∵正方形ABCD與CEFG的邊長分別為a=4cm、b=2cm，
∴AC=4

2

cm，CF=2

2

cm，∠ACD=45°，∠GCF=45°，
當(dāng)α=90°時(shí)，C、F、A三點(diǎn)共線，此時(shí)AF最小，最小值=4

2

cm-2

2

cm=2

2

cm，
當(dāng)α=0°或180°時(shí)，AF最長，此時(shí)AF=

AC2+CF2

=2

10

（cm），
∴旋轉(zhuǎn)過程中y的取值范圍為2

2

cm≤y＜2

10

cm；
（2）當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，如圖1，
當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，如圖2；
（3）當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，連接AC，CF，如圖3，
∵正方形CEFG繞定點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α度
∴∠DCE=90°-α，∠ACF=90°-α，
∴∠DCE=∠ACF，
∵CD=a，AC=

2

a，CE=b，CF=

2

b，
∴

AC

CD

=

CF

CE

=

2

，
∴△ACF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AC

CD

=

2

，
即

y

x

=

2

，
∴y=

2

x；
當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，同樣可得y=

2

x，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)．