Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連接DE，DE=

15

．
（1）求證：AM•MB=EM•MC；
（2）求sin∠EOB的值；
（3）若P是直徑AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BP=12，求證：直線PE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）連接AE，BC，由同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形AEM與三角形CBM相似，由相似得比例，化簡(jiǎn)后即可得證；
（2）根據(jù)圓周角定理及勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，再由相交弦定理求出EM的長(zhǎng)，根據(jù)所求EM的長(zhǎng)與半徑相等判斷出△OEM為等腰三角形，過E作EF⊥OM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出OF，EF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出sin∠EOB的值；
（3）由EO=EM，EF垂直于OM，得到F為OM的中點(diǎn)，由M為OB中點(diǎn)，求出OM的長(zhǎng)，可得出OF的長(zhǎng)，由OB+BP=OP，得出OP的長(zhǎng)，利用OP-OF求出FP的長(zhǎng)，再由EF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出EP的長(zhǎng)，在三角形OEP中，再利用勾股定理的逆定理判斷出三角形OEP為直角三角形，可得∠OEP為直角，即EP垂直于OE，可得EP為圓O的切線．

解答：
解：（1）連接AE，BC，
∵∠AEC與∠MBC都為

AC

所對(duì)的圓周角，
∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（對(duì)頂角相等），
∴△AME∽△CMB，
∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；
（2）如圖，∵DC為⊙O的直徑，
∴DE⊥EC，
∵DC=8，DE=

15

，
∴EC=

DC2-DE2

=

64-15

=7，
設(shè)EM=x，由于M為OB的中點(diǎn)，
∴BM=2，AM=6，
∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），
整理得：x²-7x+12=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
∵EM＞MC，∴EM=4，
∵OE=EM=4，
∴△OEM為等腰三角形，
過E作EF⊥OM，垂足為F，則OF=

1

2

OM=1，
∴EF=

OE2-OF2

=

16-1

=

15

，
∴sin∠EOB=

15

4

；
（3）在Rt△EFP中，EF=

15

，PF=FB+BP=3+12=15，
根據(jù)勾股定理得：EP=

EF2+FP2

=

240

=4

15

，
又OE=4，OP=OB+BP=4+12=16，
∴OE²+EP²=16+240=256，OP²=256，
∴OE²+EP²=OP²，
∴∠OEP=90°，
則EP為圓O的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，其中證明切線的方法有兩種：有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心證直線與半徑垂直；無點(diǎn)作垂線證明垂線段等于半徑．