Question

12．如圖，當(dāng)四邊形ABCD的內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)P₁時(shí)，最多可以把四邊形ABCD剪成4個(gè)三角形，當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)部有兩個(gè)點(diǎn)P₁，P₂時(shí)，最多可以把四邊形剪6個(gè)三角形；
（1）當(dāng)四邊形ABCD的內(nèi)部有3個(gè)點(diǎn)P₁、P₂、P₃時(shí)，最多可把它剪成8個(gè)三角形；
（2）當(dāng)四邊形ABCD的內(nèi)部有10個(gè)點(diǎn)P₁…P₁₀時(shí)，最多可把它剪成22個(gè)三角形；
當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)部有n個(gè)點(diǎn)P₁…P_n時(shí)，最多可以把它剪成2（n+1）個(gè)三角形；
（3）最多可以把四邊形ABCD剪成2016個(gè)三角形嗎？若能，求出四邊形ABCD內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若設(shè)四邊形ABCD的內(nèi)部分別有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可以把四邊形ABCD剪成S₁個(gè)三角形；有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可以把四邊形ABCD剪成S₂個(gè)三角形；…有100個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可以把四邊形ABCD剪成S₁₀₀個(gè)三角形；求S₁+S₂+…+S₁₀₀的值．

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形中1個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4，四邊形中2個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4+2×1，四邊形中3個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4+2×2，得出規(guī)律即可，
（1）根據(jù)規(guī)律即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)規(guī)律即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)可以，建立方程求解，最后判斷即可；
（4）先列出式子，再求和即可．

解答 解：∵四邊形中1個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4，
四邊形中2個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4+2×1，
四邊形中3個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4+2×2，
四邊形中4個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4+2×3，
…，
∴四邊形中n個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多分割成的三角形的個(gè)數(shù)是4+2（n-1）=2n+2=2（n+1），
（1）當(dāng)四邊形ABCD的內(nèi)部有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，n=3，
∴2（n+1）=2（3+1）=8，
故答案為8；
（2）當(dāng)四邊形ABCD的內(nèi)部有10個(gè)點(diǎn)時(shí)，n=10，
∴2（n+1）=2（10+1）=22，
故答案為22；
（3）最多可以把四邊形ABCD剪成2016個(gè)三角形，
假設(shè)最多可以把四邊形ABCD剪成2016個(gè)三角形，
∴2（n+1）=2016，
∴n=1007，
∴四邊形ABCD內(nèi)部有1007個(gè)點(diǎn)；
（4）根據(jù)題意得，S₁=4，S₂=4+2×1，S₃=4+2×2，S₄=4+2×3，S₅=4+2×4，S₁₀₀=4+2×99，
∴S₁+S₂+…+S₁₀₀=4+（4+2×1）+（4+2×2）+（4+4×3）+…+（4+2×99）
=4×100+（2×1+2×2+2×3+2×4+…+2×99）
=400+2（1+2+3+4+…+99）
=400+2×$\frac{99×（1+99）}{2}$
=400+9900
=10300．

點(diǎn)評(píng) 此題是圖形的變化類(lèi)問(wèn)題，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，結(jié)合圖形，總結(jié)出每增加一個(gè)點(diǎn)，三角形的個(gè)數(shù)最多增加2的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．