Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，其中A（1，1），B（3，1），D（1，3）．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線BD的中點M，與BC，CD的邊分別交于點P、Q．
（1）直接寫出點M，C的坐標；
（2）求直線BD的解析式；
（3）線段PQ與BD是否平行？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)中點坐標公式即可求出點M的坐標；再根據(jù)點B與點C的橫坐標相同，點C與點D的縱坐標相同即可求出C點坐標；
（2）設直線BD的解析式為y=kx+b，由已知B（3，1），D（1，3），再把B、D兩點的坐標代入即可求出k、b的值，進而得出結論；
（3）先根據(jù)反比例函數(shù)y=過點M（2，2）可求出m的值，由此可求出點P、Q兩點的坐標，故可得出CP=CQ=，即∠CPQ=45°，再由直線BD是正方形ABCD的對角線可知∠CBD=45°，故∠CPQ=∠CBD，進而可得出結論．
解答：解：（1）∵點M是線段B、D的中點，B（3，1），D（1，3），
∴點M的橫坐標為：=2，點M的縱坐標為：=2，
∴點M的坐標為（2，2），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點B與點C的橫坐標相同，點C與點D的縱坐標相同即可求出C點坐標；
∴點C的坐標為（3，3）；

（2）設直線BD的解析式為y=kx+b，
∵B（3，1），D（1，3）在直線BD上，
∴，解得．
∴直線BD的解析式為y=-x+4；

（3）PQ∥BD．理由如下：
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過M（2，2），
∴，解得m=4．
∴反比例函數(shù)的解析式為．
∵反比例函數(shù)的圖象與BC交于點P，
∴點P的橫坐標為3，當x=3時，．
∴點P的坐標為（3，）．
同理點Q的坐標為（，3）．
∴CP=CQ=．
∴∠CPQ=45°．
又∵∠CBD=45°，
∴∠CPQ=∠CBD．
∴PQ∥BD．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到正方形的性質、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式等知識，難度適中．