已知:矩形ABCD(字母順序如圖)的邊長AB=3,AD=2,將此矩形放在平面直角坐標(biāo)系xOy中,使AB在x軸正半軸上,而矩形的其它兩個頂點在第一象限,且直線y=x-1經(jīng)過這兩個頂點中的一個.
(1)求出矩形的頂點A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)以AB為直徑作⊙M,經(jīng)過A、B兩點的拋物線,y=ax2+bx+c的頂點是P點.
①若點P位于⊙M外側(cè)且在矩形ABCD內(nèi)部,求a的取值范圍;
②過點C作⊙M的切線交AD于F點,當(dāng)PF∥AB時,試判斷拋物線與y軸的交點Q是位于直線y=x-1的上方?還是下方?還是正好落在此直線上?并說明理由.

【答案】分析:(1)首先建立平面直角坐標(biāo)系,由矩形ABCD中,AB=3,AD=2,設(shè)A(m,0)(m>0),則有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2);然后若C點過y=x-1與C點不過y=x-1分析,即可求得矩形的頂點A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)⊙M以AB為直徑,即可求得M點的坐標(biāo),又由y=ax2+bx+c過A(2,0)和B(5,0)兩點,利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的圖象,然后頂點同時在⊙M內(nèi)和在矩形ABCD內(nèi)部,即可求得a的取值范圍;
②首先設(shè)切線CF與⊙M相切于Q,交AD于F,設(shè)AF=n,n>0;由AD、BC、CF均為⊙M切線,求得CF與DF的長;在Rt△DCF中,由勾股定理求得n的值,可得F的坐標(biāo),然后由當(dāng)PF∥AB時,求得拋物線的解析式與拋物線與y軸的交點Q的坐標(biāo),則可得Q在直線y=x-1下方.
解答:解:(1)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,
∵矩形ABCD中,AB=3,AD=2,
設(shè)A(m,0)(m>0),則有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2);
若C點過y=x-1;則2=(m+3)-1,
m=-1與m>0不合;
∴C點不過y=x-1;
若點D過y=x-1,則2=m-1,m=2,
∴A(2,0),B(5,0),C(5,2),D(2,2);

(2)①∵⊙M以AB為直徑,
∴M(,0),
由于y=ax2+bx+c過A(2,0)和B(5,0)兩點,
,
,
∴y=ax2-7ax+10a
(也可得:y=a(x-2)(x-5)=a(x2-7x+10)=ax2-7ax+10a)
∴y=a(x-2-a;
∴拋物線頂點P(,-a)
∵頂點同時在⊙M內(nèi)和在矩形ABCD內(nèi)部,
<-a<2,
∴-<a<-
②設(shè)切線CF與⊙M相切于Q,交AD于F,設(shè)AF=n,n>0;
∵AD、BC、CF均為⊙M切線,
∴CF=n+2,DF=2-n;在Rt△DCF中,
∵DF2+DC2=CF2;
∴32+(2-n)2=(n+2)2,
∴n=,
∴F(2,
∴當(dāng)PF∥AB時,P點縱坐標(biāo)為;
∴-a=
∴a=-;
∴拋物線的解析式為:y=-x2+x-5,
拋物線與y軸的交點為Q(0,-5),
又直線y=x-1與y軸交點(0,-1);
∴Q在直線y=x-1下方.
點評:此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,矩形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用以及點與函數(shù)的關(guān)系等知識.此題綜合性很強,難度較大,解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:矩形ABCD,對角線AC、BD相交于點O.
(1)利用圖中的向量表示:
BC
+
CD
=
 
;
(2)利用圖中的向量表示:
AO
-
AD
=
 
;
(3)如果|
AB
|=5
,|
BC
|=12
,則|
BO
|
=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知在矩形ABCD中,AB=3,點E在BC上且∠BAE=30°,延長BC到點F使CF=BE,連接DF.
(1)判斷四邊形AEFD的形狀,并說明理由;
(2)求DF的長度;
(3)若四邊形AEFD是菱形,求菱形AEFD的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:矩形ABCD中AD>AB,O是對角線的交點,過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N(如圖①).
(1)求證:BM=DN;
(2)如圖②,四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的,連接CN,求證:四邊形AMCN是菱形;
(3)在(2)的條件下,若△CDN的面積與△CMN的面積比為1:3,求
MNDN
的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖(1),已知,矩形ABCD的邊AD=3,對角線長為5,將矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系內(nèi),點C與原點O重合,且反比例函數(shù)的圖象的一個分支位于第一象限.
①求圖(1)中,點A的坐標(biāo)是多少?
②若矩形ABCD從圖(1)的位置開始沿x軸的正方向移動,每秒移動1個單位,1秒后點A剛好落在反比例函數(shù)的圖象上,如圖(2),求反比例函數(shù)的表達式.
③矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動,AB、AD與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q兩點,如圖(3),設(shè)移動總時間為t(1<t<5),分別寫出△PBC的面積S1、△QDC的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)t為何值時,S2=
107
S1?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:矩形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,CE平分∠BCD,交AB于點E,∠OCE=15°,求∠BEO的度數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案