Question

　如圖6所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，劃分成12×12個(gè)小正方形格，將邊長(zhǎng)為n（n為整數(shù)，且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地?cái)[放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個(gè)小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n－1)×(n－1)個(gè)小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.

請(qǐng)你認(rèn)真觀察思考后回答下列問(wèn)題：

（1）由于正方形紙片邊長(zhǎng)n的取值不同，完成擺放時(shí)所使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?/p>

紙片的邊長(zhǎng)n	2	3	4	5	6
使用的紙片張數(shù)

（2）設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為S₁，未被蓋住的面積為S₂.

①當(dāng)n＝2時(shí)，求S₁∶S₂的值；

②是否存在使得S₁＝S₂的n值？若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解（1）依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.

（2）S₁＝n²+(12－n)[n²－(n－1)²]＝－n²+25n－12.

①當(dāng)n＝2時(shí)，S₁＝－2²+25×2－12＝34，S₂＝12×12－34＝110.

所以S₁∶S₂＝34∶110＝17∶55.

②若S₁＝S₂，則有－n²+25n－12＝×12²，即n²－25n+84＝0，

解這個(gè)方程，得n₁＝4，n₂＝21（舍去）.

所以當(dāng)n＝4時(shí)，S₁＝S₂.所以這樣的n值是存在的.

說(shuō)明　求解本題時(shí)要通過(guò)閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時(shí)挖掘其中的隱含條件，對(duì)于求解第（3）小題，可以先假定問(wèn)題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來(lái)加以判斷.