Question

如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的半圓O與AB邊交于點(diǎn)D，DE⊥AC于E．求證：DE是半圓O的切線．

Answer 1

證明：連接OD，如右圖所示，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠ODG=90°，
∴OD⊥EG，
∴DE是⊙O的切線．
分析：先連接OD，由于AC=BC，易得∠A=∠ABC，而OD=OB，又能得到∠OBD=∠ODB，等量代換可得∠ODB=∠A，利用同位角相等兩直線平行可知OD∥AC，而DE⊥AC，那么∠CED=90°，利用平行線性質(zhì)可得∠ODG=90°，可證DE是⊙O的切線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OD，并證明OD∥AC．