Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，直線l過點C，AM⊥l于M點，BN⊥l于N點，
（1）探索線段MN與AM+BN之間有什么數(shù)量關系？
（2）已知：AM=1，BN=3，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可證得△AMC≌△CNB，即可得到AM+BN=MN；
（2）三角形ABC的面積=梯形AMNB的面積-三角形AMC的面積-三角形CNB的面積；

解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，AM⊥l，BN⊥l，
∴∠NBC=90°-∠BCN，∠MCA=180°-∠ACB-∠BCN=90°-∠BCN，
在△AMC和△CNB中

∠NBC=∠MCA ∠AMC=∠CNB AC=BC

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，BN=MC，
∵CN+MC=MN，
∴AM+BN=MN；

（2）根據(jù)MN=AM+BN=4，
∴S_梯形AMNB=

1

2

(AM+BN)×MN=

1

2

×4×4=8，
∴S_△ABC=S_梯形AMNB-2S_△ACM=8-2×

1

2

×1×3=5．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質和全等三角形的判定與性質，應根據(jù)題目已知條件選取適當?shù)淖C明方法．