如圖,把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中,使直角邊OB、OD在x軸上.已知點(diǎn)A(1,2),過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段OC上一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上,且不與點(diǎn)C重合),△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S.試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、C,利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;
(2)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì),確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及線段長度的數(shù)量關(guān)系,得到一元二次方程,求出t的值,從而可解.結(jié)論:存在點(diǎn)P(,),使得四邊形ABPM為等腰梯形;
(3)本問關(guān)鍵是求得重疊部分面積S的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的極值求得S的最大值.解答中提供了三種求解面積S表達(dá)式的方法,殊途同歸,可仔細(xì)體味.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O、A、C,
可得c=0,∴,
解得a=,b=,
∴拋物線解析式為y=x2+x.

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得PN=
∴P(t,),∵點(diǎn)M在拋物線上,∴M(t,t2+t).
如解答圖1,過M點(diǎn)作MG⊥AB于G,過P點(diǎn)作PH⊥AB于H,
AG=yA-yM=2-(t2+t)=t2-t+2,BH=PN=
當(dāng)AG=BH時(shí),四邊形ABPM為等腰梯形,
t2-t+2=,
化簡得3t2-8t+4=0,解得t1=2(不合題意,舍去),t2=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
∴存在點(diǎn)P(,),使得四邊形ABPM為等腰梯形.

(3)如解答圖2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x軸于T,交OC于Q,A′O′交x軸于K,交OC于R.
求得過A、C的直線為yAC=-x+3,可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為a,則點(diǎn)A′(a,-a+3),
易知△OQT∽△OCD,可得QT=
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,).

解法一:
設(shè)AB與OC相交于點(diǎn)J,
∵△A′RQ∽△AOJ,相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比,∴=
∴HT===2-a,
KT=A′T=(3-a),A′Q=yA′-yQ=(-a+3)-=3-a.
S四邊形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ
=KT•A′T-A′Q•HT
=•(3-a)-•(3-a)•(-a+2)
=a2+a-=(a-2+
由于<0,
∴在線段AC上存在點(diǎn)A′(,),能使重疊部分面積S取到最大值,最大值為

解法二:
過點(diǎn)R作RH⊥x軸于H,則由△ORH∽△OCD,得  ①
由△RKH∽△A′O′B′,得   ②
由①,②得KH=OH,
OK=OH,KT=OT-OK=a-OH   ③
由△A′KT∽△A′O′B′,得,
則KT=    ④
由③,④得=a-OH,即OH=2a-2,RH=a-1,所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為R(2a-2,a-1)
S四邊形RKTQ=S△QOT-S△ROK=•OT•QT-•OK•RH
=a•a-(1+a-)•(a-1)
=a2+a-=(a-2+
由于<0,
∴在線段AC上存在點(diǎn)A′(,),能使重疊部分面積S取到最大值,最大值為

解法三:
∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=,
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=(-a+3)•=a+,
∴OK=OT-KT=a-(a+)=a-,
過點(diǎn)R作RH⊥x軸于H,
∵cot∠OAB=tan∠RKH==2,
∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH===,
∴2RH=OK+KH=a-+RH,
∴RH=a-1,OH=2(a-1),
∴點(diǎn)R坐標(biāo)R(2a-2,a-1)
S四邊形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ=•KT•A′T-A′Q•(xQ-xR
=•(3-a)-•(3-a)•(-a+2)
=a2+a-=(a-2+
由于<0,
∴在線段AC上存在點(diǎn)A′(,),能使重疊部分面積S取到最大值,最大值為
點(diǎn)評:本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰梯形、相似三角形、圖形的平移以及幾何圖形面積的求法,涉及到的知識點(diǎn)眾多,難度較大,對學(xué)生能力要求較高,有利于訓(xùn)練并提升學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,把兩個(gè)全等的腰長為8的等腰直角三角形沿他們的斜邊拼接得到四邊形ABCD,N是斜邊AC上一精英家教網(wǎng)動點(diǎn).
(1)若E、F為AC的三等分點(diǎn),求證:∠ADE=∠CBF;
(2)若M是DC上一點(diǎn),且DM=2,求DN+MN的最小值;
(注:計(jì)算時(shí)可使用如下定理:在直角△ABC中,若∠C=90°,則AB2=AC2+BC2
(3)若點(diǎn)P在射線BC上,且NB=NP,求證:NP⊥ND.

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(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段OC上一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形ABPM為等腰梯形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上,且不與點(diǎn)C重合),△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S.試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請說明理由.

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(2013•石景山區(qū)一模)如圖,把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△ECD分別置于平面直角坐標(biāo)系xOy中,使點(diǎn)E與點(diǎn)B重合,直角邊OB、BC在y軸上.已知點(diǎn)D (4,2),過A、D兩點(diǎn)的直線交y軸于點(diǎn)F.若△ECD沿DA方向以每秒
2
個(gè)單位長度的速度勻速平移,設(shè)平移的時(shí)間為t(秒),記△ECD在平移過程中某時(shí)刻為△E′C′D′,E′D′與AB交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,C′D′與AB交于點(diǎn)Q,與y軸交于點(diǎn)P(注:平移過程中,點(diǎn)D′始終在線段DA上,且不與點(diǎn)A重合).
(1)求直線AD的函數(shù)解析式;
(2)試探究在△ECD平移過程中,四邊形MNPQ的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及t的取值;若不存在,請說明理由;
(3)以MN為邊,在E′D′的下方作正方形MNRH,求正方形MNRH與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的取值范圍.

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(3)若△AOB沿AC方向平移(點(diǎn)A始終在線段AC上,且不與點(diǎn)C重合),△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S.試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請說明理由.

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