Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是射線DA上的一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與射線DC交于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)P在邊DA上（與點(diǎn)D、點(diǎn)A不重合）．
①求證：△DEF∽△CEB；
②設(shè)AP=x，DF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)△EFC與△BEC面積之比為3：16時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為多少？（直接寫出答案，不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由于∠DEC、∠FEB都是直角，那么∠DEF、∠CEB為同角的余角，由此可得∠DEF=∠CEB，同理可證得∠EDF=∠BCE，由此得證．
②此題可通過(guò)兩步相似，即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB，來(lái)證得PD=DF，從而求得y、x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，根據(jù)△EFC與△BEC面積之比為3：16，列出有關(guān)x的方程，求解即可．
解答：解：（1）①∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°，
∵DE⊥CP，
∴∠DEP=∠DEC=90°，
∴∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠DPE=∠CDE，
∵∠ECB=∠DPE，
∴∠ECB=∠EDF，
∵∠DEC=90°，
∴∠DEF+∠FEC=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠CEB+∠FEC=90°，
∴∠DEF=∠CEB，
∴△DEF∽△CEB．

②∵△DEF∽△CEB，
∴=，
∵DF=y，BC=2，AP=x，AB=4，
∴=，DP=2-x，CD=4，
由∠PDC=90°，DE⊥CP，易證△DPC∽△EDC，
∴==，
∴=，
∴y=-x+1，
∴x的取值范圍為0＜x＜2．

（2）AP長(zhǎng)為-2或2+或2+．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形的綜合，此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，