Question

現有一寬為40厘米的矩形鐵皮，用它可以沖出3個扇形，加工成3個底面半徑為10厘米，母線長為20厘米的無底面圓錐（不計接縫損失）．
（1）計算此圓錐側面展開圖（扇形）的圓心角的度數；
（2）按照題目要求在下圖中畫出使鐵皮能充分利用（最省料）的示意圖，并求出矩形鐵皮的長手最少為多少厘米．

Answer 1

解：（1）設圓心角的讀數為n°，則=20π．        
所以n=180．所以此扇形的圓心角的度數為180°，

（2）因為扇形的圓心角為180°，圓錐母線長為20厘米，所以這個扇形是半徑為20厘米的半圓，如圖1所示，當三個半圓所在的圓兩兩外切，且半圓的直徑與長方形的邊垂直時，能使鐵皮得以充分利用
如圖2，連接O₁O₂，O₂O₃，0₃0₁．
因為  EO₁、EO₂、EO₃兩兩外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，所以  O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=0₁A+CO₃=40．
過O₃作0₃E⊥O₁O₂于E．因為O₂O₃=O₁O₃，所以  O₁E=O₂E=O₁O₂=20．
在△0₁E0₃中，∠O₁EO₃=90°，
根據勾股定理EO₃===20． 
因為四邊形ABCD是矩形．
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°，
因為，AO₁=BO₂，AO₁∥BO₂，所以四邊形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°，所以O₁E=DO₃．又因為O₁E=DO₃，
所以四邊形0₁EO₃D是平行四邊形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO₁+O₁D=20+20．    
因此短形鐵片的長至少為（20+20）厘米．
分析：（1）利用弧長公式l=，以及圓錐底面圓的周長等于扇形弧長，求出n的度數即可；
（2）利用兩圓相切的性質得出理EO₃=進而求出EO₃=O₁D，得出AD=AO₁+O₁D得出答案即可．
點評：本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算和兩圓相切的性質．利用相切兩圓的性質得出EO₃=O₁D是解題的關鍵．