Question

如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CB的延長(zhǎng)線上，且BE=BF，連接EF．
（1）若取AE的中點(diǎn)P，求證：BP=

1

2

CF；
（2）在圖①中，若將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜360°），如圖②，是否存在某位置，使得AE∥BF？若存在，求出所有可能的旋轉(zhuǎn)角α的大小；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則BE=AE=2a，由BE=BF得到BF=2a，所以CF=6a，由點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)得EP=a，則BP=3a，由此得到BP=

1

2

CF；
（2）由（1）得到BE=BF=

1

2

AB，∠EBF=90°，當(dāng)AE∥BF時(shí)，則∠AEB=∠EBF=90°，所以∠BAE=30°，則∠ABE=60°，即α=60°，易得α=300°時(shí)，AE∥BF．

解答：（1）證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴BE=AE=2a，
∵BE=BF，
∴BF=2a，
∴CF=4a+2a=6a，
∵點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，
∴EP=a，
∴BP=2a+a=3a，
∴BP=

1

2

CF；

（2）存在．
∵AE∥BF，
而BE=BF=

1

2

AB，∠EBF=90°，
∴∠AEB=∠EBF=90°，
∴∠BAE=30°，
∴∠ABE=60°，即α=60°，
當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，AE∥BF，此時(shí)α=300°，
∴旋轉(zhuǎn)角α為60°或300°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．