Question

（2002•上海模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，ctgA=

4

3

．
（1）當(dāng)∠PBC=∠A時(shí)，求AP的長(zhǎng)．
（2）點(diǎn)O是BP上一點(diǎn)，且⊙O與邊AB、AC都相切，設(shè)AP=x，⊙O的半徑為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域．
（3）在（2）中，⊙O與邊BC也相切時(shí)，試判斷sinA與

OP

AP

的大小，并說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理、余切三角函數(shù)的定義求得線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度，通過(guò)相似三角形△PBC∽△BAC是對(duì)應(yīng)邊成比例求得PC的長(zhǎng)度；然后根據(jù)圖形中線(xiàn)段間的和差關(guān)系來(lái)求AP的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)⊙O和AC，AB分別相切于點(diǎn)D、E，連接OD、OE．根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理和勾股定理求y與x的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的定義判定BP是∠CBA的平分線(xiàn)；然后由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理、勾股定理以及平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例分別求得AP、OP的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，ctgA=

4

3

，
∴

AC

BC

=

4

3

．
又∵AB=10，AB²=AC²+BC²，
∴AC=8，BC=6．
∵∠PBC=∠A，∠PCB=∠BCA=90°，
∴△PBC∽△BAC，
∴

PC

BC

=

BC

AC

，即

PC

6

=

6

8

，
∴PC=

9

2

，
∴AP=AC-PC=

7

2

；

（2）如圖1，設(shè)⊙O和AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E，連接OD、OE．連接AO并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H．則AH是∠BAC的平分線(xiàn)．
根據(jù)角平分線(xiàn)定理知，

AB

BH

=

AC

CH

，即

10

6-CH

=

8

CH

，
∴CH=

8

3

．
∵AC切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥AC；
又∵BC⊥AC，
∴OD∥BC．
在△PBC中，

OD

BC

=

PD

PC

，即

y

6

=

PD

8-x

，則PD=

y(8-x)

6

．
在△ACH中，

OD

HC

=

AD

AC

，即

y

8 3

=

PD+x

8

=

y(8-x) 6 +x

8

，則y=

6x

10+x

（0＜x＜8）；

（3）解：sinA＞

OP

AP

．理由如下：
如圖2，∵⊙O與邊AB、AC、BC都相切，
∴BP是∠CBA的平分線(xiàn)，
∴

BC

CP

=

BA

PA

，即

6

8-AP

=

10

AP

，則AP=5，CP=3．
∴在直角△BCP中，根據(jù)勾股定理知BP=3

5

．
∵AP=x，⊙O的半徑為y，y=

6x

10+x

，
∴OD=

6×5

10+5

=2．
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴

OP

BP

=

OD

BC

，即

OP

3 5

=

2

6

，則OP=

5

，
∴sinA=

BC

AB

=

6

10

=

3

5

，

OP

AP

=

5

5

，
∴sinA＞

OP

AP

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有相似三角形的判定與性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的定義域．