鐘面數字問題
如圖,鐘面上有1,2,3,…,11,12這12個數字.
(1)試在某些數的前面添加負號,使它們的代數和為零
(2)能否改變鐘面上的數,比如只剩下6個偶數,仍按第(1)小題的要求來做?
[思路探究]
(1)我們先試著選定任意幾個數字,在其前面添加負號,如
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2+1-2.
這當然不是我們要的答案,但我們可以將其調整,比如改變1前面的符號,得
-12-11-10+9+8+7+6-5+4+3+2-1-0.
用這種方法當然可以得到許多答案,但我們并不滿足.我們希望尋找其中的規(guī)律,使我們能找到更多的解答.我們發(fā)現:
在調整符號的過程中,若將一個正數變號,12個數的代數和就減少這個正數的兩倍;若將一個負數變號,12個數的代數和就增加這個負數的絕對值的兩倍.
要使12個數的代數和為零,其中正數的和的絕對值必須與負數的和的絕對值相等,均為12個數之和的-半,即等于39.
由此,我們只要找到幾個和為39的數,將這些數添上負號即可.
由于最大3個數之和為33<39,因此必須再添上一個6才有解答,所以添加負號的數至少要有4個.同理可知,添加負號的數最多不超過8個.
根據以上規(guī)律,就能在很短的時間內得到許多解答,但是要寫出所有解答,還必須把答案作適當的分類.本題共有124個解答,親愛的讀者,你能寫出這124個解答來嗎?
(2)因為2+4+6+8+10+12-42,它的一半為21,而奇數不可能通過偶數求和得到,所以只剩下6個偶數時,不能按第(1)小題的要求來做.