Question

“黃海”生化食品研究所欲將甲、乙、丙三種食物混合研制成100千克食品，并規(guī)定研制成的混合食品中至少需要44 000單位的維生素A和48 000單位的維生素B．三種食物的維生素A、B的含量及成本如下表所示：設(shè)取甲、乙、丙三種食物的質(zhì)量分別為x千克、y千克、z千克．

類    別	甲種食物	乙種食物	丙種食物
維生素A（單位/千克）	400	600	400
維生素B（單位/千克）	800	200	400
成本（元/千克）	9	12	8

（1）根據(jù)題意列出等式或不等式，并證明：y≥20且2x-y≥40；
（2）若限定混合食品中要求含有甲種食物的質(zhì)量為40千克，試求此時(shí)制成的混合食品的總成本w的取值范圍，并確定當(dāng)w取最小值時(shí)，可取乙、丙兩種食物的質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意列出等式或不等式

x+y+z=100 400x+600y+400z≥44000 800x+200y+400z≥48000

，整理并解不等式，可得y≥20且2x-y≥40；

（2）由題意可得w=40×9+12y+8z，然后有y、z的值決定w的取值范圍，從而得出w取最小值時(shí)，可取乙、丙兩種食物的質(zhì)量．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

x+y+z=100 400x+600y+400z≥44000 800x+200y+400z≥48000

整理得

x+y+z=100      2x+3y+2z≥220 4x+y+2z≥240

由x+y+z=100得，z=100-x-y ①
把①代入兩個(gè)不等式可得y≥20且2x-y≥40；

（2）因?yàn)閤=40，y≥20且2x-y≥40，所以20≤y≤40
由題意可得w=40×9+12y+8z
當(dāng)y=20，z=40時(shí)，w有最小值40×9+12×20+8×40=920元；
當(dāng)y=40，z=20時(shí)，w有最大值40×9+12×40+8×20=1000元；
則w的取值范圍是920≤w≤1000．
w取最小值時(shí)，乙、丙兩種食物的質(zhì)量分別是20千克、40千克．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出不等式關(guān)系式即可求解．w的取值需要分組討論得出．